Jean-Michel Coron (UPMC, France) nous a offert une excellente et stimulante performance mardi 24 août. Clarté, dynamisme humour,...   sa conférence plénière intitulée On the controllability of nonlinear partial differential equations était un vrai bon moment de mathématiques.

Ce "maître de la théorie du contrôle", auteur de "contributions très profondes dans le domaine des problèmes non-linéaires" (pour reprendre les termes employés par son président de séance, le récemment primé Louis Nirenberg)  a commencé par expliquer simplement la notion de contrôlabilité et définir ce qu'est un système de contrôle à l'aide d'exemples très visuels.



Poussettes, bacs d'eau, ...


Un système de contrôle est un système dynamique que l'on amène d'une positon initiale à une position finale  (par exemple une poussette que l'on fait rouler, un réservoir d'eau que l'on déplace) tout en "contrôlant" (minimisant, maximisant...) un certain nombre de paramètres sur lesquels on agit à l'aide d'une commande (par exemple : guidage de la poussette, limitation de la formation de vagues dans le réservoir d'eau).



Linéaire, non-linéaire, linéarisable...


L'exposé s'est d'abord intéressé au cas des systèmes linéaires et a proposé une condition de contrôlabilité de tels systèmes (le théorème de Kalman).
Ensuite, puisque la nature produit en réalité très peu de systèmes vraiment linéaires, il s'est attaqué à la possibilité de contrôler des systèmes non-linéaires.


Première idée : linéariser localement et en temps petit un système non-linéaire, et voir si le résultat est ainsi contrôlable. Et s'il ne l'est pas ... voir si le système de départ est contrôlable quand même (dans ce cas, sa contrôlabilité est induite par sa non-linéarité).


Les cas étaient ainsi abordés un à un, en partant du plus "simple" et en corsant les choses au fur et à mesure, permettant au public de suivre le cheminement de cette réflexion, avec pour finir des EDP célèbres comme les équations d'Euler ou de Navier-Stockes et l'introduction de la notion de système stabilisable.


Evidemment, vers la fin, les choses étaient très pointues - il faut bien que les spécialistes du domaine y trouvent aussi leur compte - mais cette conférence plénière a rempli sa mission : agréable à suivre, donnant au public l'impression de comprendre quelque chose, piquant la curiosité pour cette théorie mathématique.



J'insisterai pour finir sur l'impressionnante maîtrise de Jean-Michel Coron, sans conteste un des orateurs les plus appréciés de ce Congrès, très en forme, ne lisant jamais son écran d'ordinateur mais, au contraire, toujours en contact visuel avec son public, alliant volontiers le geste à la voix pour se faire comprendre et émaillant son exposé de bons mots avec le plus grand naturel.